Probabilidade de Resultados Fora da Especificação a partir do Índice de Capacidade do Processo
Olá a todos, hoje vamos encontrar um modo de obter a probabilidade de se obter resultados fora da especificação (OOS) a partir do índice de capacidade do processo \(C_p\).
Vamos lá!
Índice de capacidade do processo
O índice de capacidade de processo é dado por,
\[C_p = \frac{LSE-LIE}{6\times\sigma} \tag{1}\]sendo:
\(LIE\): Limite inferior da especificação
\(LSE\): Limite superior da especificação
\(\sigma\): desvio-padrão natural do processo
Podemos encontrar \(\sigma\) isolando na equação acima:
\[\sigma = \frac{LSE-LIE}{6\times C_p} \tag{2}\]Probabilidade
Seja \(X\) a variável aleatória que representa o teor, portanto, a probabilidade de se obter resultados fora da especificação será dada por,
\[Prob(OOS) = Prob(X<LIE) + Prob(X>LSE)\,. \tag{3}\]Supondo uma distribuição simétrica
\[Prob(OOS) = 2\times Prob(X<LIE) \tag{4}\]Para calcular \(Prob(X<LIE)\) usamos a variável padronizada \(z_{LIE} = \frac{LIE-\mu}{\sigma}\), assim:
\[Prob(X<LIE) = Prob(Z<z_{LIE}) \\ = P\left(Z<\frac{LIE-\mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{LIE-\mu}{\sigma}\right) \tag{5}\]em que \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\) e \(\Phi\) representa a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Substituindo (5) em (4)
\[Prob(OOS) = 2\times \Phi\left(\frac{LIE-\mu}{\sigma}\right) \tag{6}\]Substituindo \(\sigma\) (Equação 2) em (6)
\[Prob(OOS) = 2\times \Phi\left(6\times C_p\times\frac{LIE-\mu}{LSE-LIE}\right) \tag{7}\]Muita atenção agora!
Considerando o intervalo \([LIE;LSE]\) simétrico, \(\mu\) também será o centro desse intervalo, portanto \(-(LIE-\mu)\) representa metade da distância \(LSE-LIE\), assim,
\[\frac{LIE-\mu}{LSE-LIE} = -\frac{1}{2} \tag{8}\]logo,
\[Prob(OOS) = 2\times \Phi\left(-6\times C_p\times\frac{1}{2}\right) \tag{9}\]e finalmente
\[\boxed{ Prob(OOS) = 2\times \Phi\left(-3\times C_p \right) } \tag{10}\]Referências
USP Capítulo Geral <1033> BIOLOGICAL ASSAY VALIDATION
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